Numeri primi

Numero primo  in matematica è un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso.

Al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto.

Ad esempio, 2, 3 e 5 sono primi, mentre 4 e 6 non lo sono perché sono divisibili rispettivamente anche per 2 e per 2 e 3.

L'unico numero pari primo è 2, in quanto tutti gli altri numeri pari sono divisibili per 2.

Quello di numero primo è uno dei concetti basilari della teoria dei numeri, la parte della matematica che studia i numeri interi: alla base di questa importanza vi è la possibilità di costruire con essi, attraverso la moltiplicazione, tutti gli altri numeri interi, nonché l'unicità di tale fattorizzazione.

I primi sono inoltre infiniti e la loro distribuzione è stata oggetto di molte ricerche.

I numeri primi sono stati studiati sin dall'antichità: i primi risultati risalgono infatti agli antichi Greci, e in particolare agli Elementi di Euclide, scritti attorno al 300 a.C.

Nonostante questo, numerose congetture che li riguardano non sono state ancora dimostrate; tra le più note vi sono l'ipotesi di Riemann, la congettura di Goldbach e la congettura dei primi gemelli, che ad oggi (gennaio 2011), dopo oltre un secolo dalla loro formulazione, non sono state ancora dimostrate.

Sono rilevanti anche in molti altri ambiti della matematica pura, come ad esempio l'algebra o la geometria; recentemente hanno assunto un'importanza cruciale anche nella matematica applicata, e in particolare nella crittografia.

Non è noto quando si è formato il concetto di numero primo, tuttavia un segnale che fa supporre una qualche consapevolezza della diversità di tali numeri si ha con l'Osso d'Ishango, un reperto osseo datato al Paleolitico superiore, in cui compaiono dei segni rappresentanti i numeri primi compresi tra 10 e 20.

Per trovare un altro segno di questa consapevolezza bisogna recarsi in Mesopotamia ed aspettare il secondo millennio a.C.; a tale periodo appartengono infatti alcune tavolette contenenti le soluzioni di alcuni problemi aritmetici che, per essere svolti, richiedono una buona conoscenza della fattorizzazione in primi.

Allo stesso millennio appartiene anche il papiro di Rhind (trascritto intorno al 1650 a.C.), che contiene alcune espansioni in frazioni egizie dei numeri nella forma 2/n.

Le espansioni dei numeri che hanno in comune il più piccolo dei loro fattori sono simili, suggerendo che gli Egizi fossero almeno consapevoli della differenza tra i numeri primi e i composti.

La prima traccia incontestabile di un vero studio dei numeri primi è costituita dagli Elementi di Euclide, un libro composto tra il IV e il III secolo a.C., che fornisce un quadro completo delle conoscenze matematiche del tempo.

Quest'opera contiene alcuni risultati fondamentali, tra cui il teorema dell'infinità dei primi e il lemma di Euclide, che prova un'importante caratterizzazione dei numeri primi. Euclide dimostra anche la possibilità di fattorizzare ogni intero positivo come prodotto di primi.

All'antica Grecia dobbiamo anche il crivello di Eratostene, un semplice algoritmo per determinare quali sono i numeri primi.I secoli seguenti registrarono un certo disinteresse per lo studio dei numeri primi e per diverso tempo non furono provati risultati di particolare rilevanza su questo argomento.

L'interesse verso di essi riprese vigore nel diciassettesimo secolo, con le dimostrazioni di nuovi e importanti risultati, alcuni dei quali dovuti a Pierre de Fermat: in particolare egli provò un teorema sulle congruenze modulo un primo, noto come "piccolo teorema di Fermat", e il teorema sulle somme di due quadrati che afferma che tutti i primi di una certa forma si possono scrivere come somma di due quadrati.

Congetturò inoltre che tutti i numeri nella forma 22n + 1 (oggi chiamati in suo onore numeri di Fermat) fossero primi; Fermat stesso aveva verificato la sua congettura fino ad n = 4, ma Eulero mostrò che per n = 5 si otteneva un numero composto. Ad oggi non sono noti altri numeri di questo tipo che siano primi.

Nello stesso periodo, il monaco francese Marin Mersenne pose l'attenzione sui primi nella forma 2p - 1, con p primo, che oggi sono chiamati in suo onore primi di Mersenne.Altri risultati vennero ottenuti da Eulero nel corso del diciottesimo secolo: tra di essi vi sono la divergenza della serie infinita 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ..., in cui gli addendi sono gli inversi dei numeri primi, e il cosiddetto prodotto di Eulero, una formula che evidenzia il legame dei primi con la serie armonica.

Nella corrispondenza di Eulero con Christian Goldbach, quest'ultimo formulò inoltre la famosa congettura di Goldbach, ancora oggi non dimostrata, che riguarda la rappresentazione dei numeri naturali pari come somma di numeri primi.

Dall'inizio dell'Ottocento, l'attenzione di molti matematici si rivolse allo studio della distribuzione asintotica dei primi, ossia allo studio dell'andamento della funzione che conta i primi minori o uguali ad x.

Legendre e Gauss congetturarono indipendentemente che tale funzione tende, al crescere di x, a x / ln(x), dove ln(x) indica il logaritmo naturale di x.

Nel 1859 Bernhard Riemann collegò questo problema con il posizionamento degli zeri della funzione zeta di Riemann, una funzione di variabile complessa; questo approccio portò alla dimostrazione della congettura, compiuta in modo indipendente da Hadamard e de la Vallée Poussin nel 1896.

Tale risultato è oggi noto col nome di teorema dei numeri primi.I numeri primi restarono confinati nell'ambito della matematica pura fino agli anni settanta, quando venne sviluppato il concetto di crittografia a chiave pubblica; il primo algoritmo di questo tipo, l'RSA, sfrutta infatti la difficoltà di fattorizzare numeri grandi formati da due soli fattori primi.

Per questo motivo, ha assunto una notevole importanza anche la ricerca di numeri primi sempre più grandi.

A partire dal 1951, tale ricerca viene effettuata attraverso l'uso di computer.Fonte Wikipedia